TRANSFORMADA Z

                                       

 INTRODUCCION


En un analisis gereral empesaremos por decir lo que es La transformada Z de una secuencia en tiempo discreto X[n] se define como:

donde Z es una variable compleja. Otra notación para la sumatoria es Z( X[n] ). Si la secuencia es causal, la transformada Z se convierte en :

Esta transformada se llama unilateral, para distinguirla de la primera definición que toma el nombre de la transformada Z bilateral.

La transformada Z unilateral es de gran utilidad en el análisis de sistemas causales, especificados por ecuaciones en diferencias, con coeficientes constantes y con condiciones iniciales, es decir, aquellos que en su inicio no se encuentran en reposo.

Ejemplo 1

Halle X[Z] si X[n]=d [n].

Solución

Se define

por consiguiente,

o sea,

X[Z] = 1·Z⁰ = 1.

transformada-z bilateral

La TZ bilateral de una señal definida en el dominio del tiempo discreto x[n] es una función X(z) que se define

Transformada Z unilateral

De forma alternativa, en los casos en que x[n] está definida únicamente para n ≥ 0, la transformada Z unilateral se define como

En el procesamiento de señales, se usa esta definición cuando la señal es causal. En este caso, la Transformada Z resulta una serie de Laurent, con ROC del tipo | z | > R ; es decir que converge "hacia afuera".

Un ejemplo interesante de la TZ unilateral es la función de generación de probabilidades, donde x[n] es la probabilidad que toma una variable discreta aleatoria en el instante n, y la función X(z) suele escribirse como X(s), ya que s = z⁻¹. Las propiedades de las transformadas Z son útiles en la teoría de la probabilidad.

 

Transformada Z bilateralLa TZ bilateral de una señal definida en el dominio del tiempo discreto x[n] es una función X(z) que se define

donde n es un entero y z es, en general, un número complejo de la forma
z = Aejω
donde A es el módulo de z, y ω es la frecuencia angular en radianes por segundo (rad/s).